AI正在打破专业人士对数学的垄断。这就像艺术一样，未来的数学也会分成学院派和大众派：学院派会越来越小众，而大众派将会崛起。诺依曼说过，数学一旦远离经验的源头… · @snowboat84 · TwKit

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AI正在打破专业人士对数学的垄断。这就像艺术一样，未来的数学也会分成学院派和大众派：学院派会越来越小众，而大众派将会崛起。诺依曼说过，数学一旦远离经验的源头，越走越深地钻进象牙塔，就会陷入巴洛克式的繁琐，最后走向衰亡。今天的很多数学研究早已经成为无源之水，最终只能消亡（学军消灭定理）。艺术之所以能一直活下去，是因为它除了学院派，还有大众的审美在托底。数学过去缺的就是这个，而AI正在把它补上。 本着这个思路，这一个星期来，我做了一件有意义的事。我选择初等几何来做模范示范，是因为它是数学里最古老、也最直观的一块土地。九点圆、欧拉线、费尔巴哈定理，曾经让无数热爱数学的中学生着迷，但这片土地被耕耘了两千年，19世纪以后更是被研究得底朝天，大家都以为不可能再有什么新东西了。我想看看，AI能不能在这样一块被垦烂的土地上，用系统性的方法重新挖出新东西？ 结果是可喜的：我们首先在平面几何中展开搜索，AI一口气找出了三角形的623个四点以上的共圆，其中绝大部分从来没有被系统地记录过。随后，我们又把目光转向立体几何，先是在任意四面体中发现了七点球定理，接着又在垂心四面体中发现了五个新定理，包括十三点球、欧拉线上的共面与共线关系、七线共点，以及费马点与外心之间的一条新的共线关系。这些发现已经整理成两篇论文，给出了相应的数学证明（当然，发现的过程比证明要重要）。从平面上的共圆，到空间中的共球、共线、共面和共点，AI证明了即使在这样一块被反复耕耘了几百年的土地上，仍然可以系统性地发现新的几何关系。 但找到定理只是第一步。更有意思的问题是：AI有没有数学的taste？它能不能判断哪个定理重要、哪个只是平凡关系换了个样子？在平面几何的实验里，AI已经开始做这件事了：它把这几百个圆归结为少数几种机制，有的是两对反演点，有的是换一个三角形看的“翻版”，还有一批找不到任何已知结构，反而最神秘。到了立体几何，这个问题变得更加突出：我们不仅需要找到新的共球、共线和共点关系，还需要判断这些关系是不是已有定理的简单推论，能不能用统一的几何原理来解释，以及哪些发现真正值得写成定理。数学家判断一个定理重不重要，很大程度上就是看它能不能解释别的事情、能不能被更深的原理解释。这种从大量事实中提炼出少数原理的能力，正是AI下一步最需要学会的。 另一个我很好奇的问题是AI的空间想象力。很多人说LLM没有空间想象能力。在做几何的时候，它是否只是把一切翻译成坐标和方程去算？至少在这次实验中，AI几乎全程用的是解析几何的语言，真正需要空间直觉的地方，比如把一张图画得清楚好看，反而是它最吃力的地方。几何恰好能把"算出来"和"看出来"分开：只给一张图，让它先猜哪几个点共圆再去验证；或者不准用坐标，要求它像人一样添一条辅助线去证明。这会是检验AI空间想象力的一个很好的试验场。我在这里也给出一个公开的题目：把我在第二篇论文里关于费马点三点共线的证明用综合几何学的方法来完成。 最后，也是我最在意的一点：几何是数学和大众之间最短的那座桥。一张图上，四个看似毫不相干的点恰好落在同一个圆上，或者一个四面体中，七个看似毫不相关的点竟然落在同一个球面上，任何人看到都会觉得奇妙，而且不需要太多预备知识。现在，我已经把这些发现整理成了两篇论文，并制作了两个视频，用动态的几何图像展示这些新发现，希望让更多人重新感受到这种惊奇。 未来如果有足够的资源，我甚至可能成立一个专门的Geometry Lab，利用AI系统性地探索几何的新定理，研究它们背后的数学结构，并把这些发现通过论文、图像和视频分享给大众。AI负责广度，人负责好奇心和眼光，数学重新回到每个人都能看懂、都能参与的地方。这也许就是大众数学被AI激活的乐趣。

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